Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui. Contoh persamaan trigonometri adalah:

2 sin x = 1

cosx = - ½ 

Menyelesaiakan persamaan trigonometri adalah mencari semua sudut x yang membuat persamaan menjadi benar. Dalam menyelesaikan persamaan trigonometri kita dapat menggunakan operasi aljabar dan juga identitas trigonometri jika diperlukan.

Berikut ini akan diberikan penyelesaian umum dari persamaan trigonometri.

> Sinus (sin)
sin x = sin a

x = a + k ´ 360^o
atau
x = (180 – a) + k ´ 360o
dengan k = bilangan bulat

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½ untuk 0^o ≤ x < 360^o
Jawab:
sin 2x = ½
sin 2x = sin 30^o
2x = 30^o + k´360^o
x = 15^o + k´180^o
Untuk
k = 0 --> x = 15^o + 0´180^o = 15^o
k = 1 --> x = 15^o + 1´180^o = 195^o
 atau
2x = 180^o – 30^o + k´360^o
2x = 150^o + k´180^o
x = 75^o + k´180^o
Untuk,
k = 0 --> x = 75^o + 0.180^o = 75^o
k = 1 --> x = 75o +1.180^o =255^o
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {15^o, 75^o, 195^o, 225^o}

> Cosinus (cos)
cos x = cos a
atau
x = a + k ´ 360^o
x = (-a) + k ´ 360^o

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari cos (2x – 20^o) = -½ untuk 0^o ≤ x < 360^o
Jawab:
cos (2x – 20^o) = - ½
cos (2x – 20^o) = cos 120^o
2x – 20^o = 120^o + k´360^o
x – 10^o = 60^o + k´180^o
x = 70^o + k´180^o
k = 0 --> x = 70^o + 0´180^o = 70^o
k = 1 --> x = 70^o + 1´180^o = 250^o
atau
2x – 20^o = -120^o + k´360^o
x – 10^o = -60^o + k´180^o
x = -50^o + k´180^o
k = 1 --> x = -50^o + 1´180^o = 130^o
k = 2 --> x = -50^o + 2´180^o = 310^o
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {70^o, 130^o, 250^o, 310^o}
dengan k = bilangan bulat

> Tangen (tan)
tan x = tan a
x = a + k ´ 180^o
dengan k = bilangan bulat

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari tan (3x – 30^o) = 1 untuk 0^o ≤ x < 180^o
Jawab:
tan (3x – 30^o) = 1
tan (3x – 30^o) = tan 45^o
3x – 30^o = 45^o + k´180^o
x – 10^o = 15^o + k´60^o
x = 25^o + k´60^o
k = 0 --> x = 25^o + 0´60^o = 25^o
k = 1 --> x = 25^o + 1´60^o = 85^o
k = 2 --> x = 25^o + 2´60^o = 145^o
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {25^o, 85^o, 145^o}